ClearAll["Global`*"]
Remove["Global`*"]
<<Notation`
Symbolize[(NotationTemplateTag[(OverBar[X])])]
Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[J, 0])])]
Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[E, 0])])]
Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[X_, i_])])]
Unprotect[E];

Ι=IdentityMatrix[3];
ComputeInertia[ineq__,assum__]:=Module[{Π,X,(OverBar[X]),(Subscript[E, 0]),(Subscript[J, 0]),V},
X={(Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2]),(Subscript[X, 3])};
V=Assuming[0<a && 0<b && 0<c,Integrate[(Subscript[ρ, 0]),X∈Ellipsoid[{0,0,0},{a,b,c}]]];
(OverBar[X])=Assuming[0<a && 0<b && 0<c,Integrate[(Subscript[ρ, 0])X,X∈Ellipsoid[{0,0,0},{a,b,c}]]];
(Subscript[E, 0])=Assuming[0<a && 0<b && 0<c,Integrate[(Subscript[ρ, 0])(X-(OverBar[X]))⊗(X-(OverBar[X])),{(Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2]),(Subscript[X, 3])}∈Ellipsoid[{0,0,0},{a,b,c}]]];
(Subscript[J, 0])=Tr[(Subscript[E, 0])]Ι-(Subscript[E, 0]);
Return[{(OverBar[X]),(Subscript[E, 0]),(Subscript[J, 0]),V}]
(*Π=X-(OverBar[X])*)]

ComputeInertia[, ]

{(OverBar[X]),(Subscript[E, 0]),(Subscript[J, 0]),V}=ComputeInertia[1,2]

V//MatrixForm
(Subscript[E, 0])/.V->𝒱//MatrixForm
Simplify[(Subscript[J, 0])/V]//MatrixForm