Clear["Global`*"]
ClearAll["Global`*"]
Clear["Global`*"]
<<Notation`
Off[Symbolize::bsymbexs]
Symbolize[(NotationTemplateTag[𝒞])]; 
Symbolize[(NotationTemplateTag[(OverVector[𝒳])])];Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[(OverVector[X]), r])]) ];Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[(OverVector[U]), r])]) ]
Symbolize[(NotationTemplateTag[(OverVector[X])])]; Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[X, 1])])]; Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[X, 2])])]; Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[X, 3])])] 
Symbolize[(NotationTemplateTag[(OverVector[U])])];Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[(OverVector[U]), n])])];
Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[U, 1])])]; Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[U, 2])])]; Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[U, 3])])] 
Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[Un, 1])])]; Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[Un, 2])])]; Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[Un, 3])])] 
Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[Γ, (Subscript[g, _])])])];
Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[n, 1])])]; Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[n, 2])])];Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[n, 3])])] 
Notation[(NotationTemplateTag[(Subscript[x_, i_·])  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ x_[[i_]]])]
Notation[(NotationTemplateTag[(Subscript[x_, i_ ·j_·])  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ x_[[i_,j_]]])]
Notation[(NotationTemplateTag[(Subscript[x_, i_ ·j_·k_·])  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ x_[[i_,j_,k_]]])]
Notation[(NotationTemplateTag[(Subscript[x_, i_ ·j_·k_·l_·])  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ x_[[i_,j_,k_,l_]]])]


Notation[(NotationTemplateTag[(((x_))^(-1))  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ Inverse[x_]])]
Notation[(NotationTemplateTag[A_⊙B_  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ Sum[A_[[i,j]]B_[[i,j]],{i,1,3},{j,1,3}]])]
Notation[(NotationTemplateTag[A_\[Transpose]  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ Transpose[A_]])]
Notation[(NotationTemplateTag[(Subscript[x_, i_·])  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ x_[[i_]]])]
Notation[(NotationTemplateTag[(Subscript[x_, i_ ·j_·])  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ x_[[i_,j_]]])]
Notation[(NotationTemplateTag[(Subscript[x_, i_ ·j_·k_·])  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ x_[[i_,j_,k_]]])]
Notation[(NotationTemplateTag[(Subscript[x_, i_ ·j_·k_·l_·])  ]) ⟺ (NotationTemplateTag[ x_[[i_,j_,k_,l_]]])]
Notation[(NotationTemplateTag[A_ ◦ B_]) ⟺ (NotationTemplateTag[A_@@B_])]

<<HaneeshPackages`
PrntRls={(Subscript[U, 1])-> Subscript[U,1],(Subscript[U, 2])-> Subscript[U,2],(Subscript[U, 3])-> Subscript[U,3],(Subscript[X, 1])-> Subscript[X,1],(Subscript[X, 2])-> Subscript[X,2],(Subscript[X, 3])-> Subscript[X,3]};

Pprint[expri_]:=Module[{expr=expri},
expr/.PrntRls//MatrixForm//pdConv
]

Print["Variables Initialized"]

Geometry and Mesh

Needs["NDSolve`FEM`"]
W=.5;
L=1;
sh=0.5L;
dt=0.02;
a=0.3;


coordinates={{0.,0.},{W,0.},{W,sh},{W,L},{0.,L},{0.,sh+dt},{a,sh},{0,sh-dt}};
el1=LineElement[{{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{5,6},{6,7},{7,8},{8,1}}];



bMesh=ToBoundaryMesh["Coordinates"->coordinates,"BoundaryElements"->{el1}];



meshTemp=ToElementMesh[bMesh,
MaxCellMeasure -> W/4000];
meshTemp["Wireframe"]



map[xi_,yi_]:=Module[{y=yi-sh,x=xi},
If[x≤ a,
If[y≥ 0,-(a-x)(dt/a)(((L-sh-y))/(L-sh)),(a-x)(dt/a)(((sh+y))/sh)],0.0
]
]

Block[{X,Y,i,j},
For[
coord=meshTemp["Coordinates"];
i=1,
i< Length[coord],i++;
Y=coord[[i]][[2]];
X=coord[[i]][[1]];
Uy=map[X,Y];
Ux=0.0;
coord[[i]][[1]]=X+Ux;
coord[[i]][[2]]=Y+Uy;
]]

TE=meshTemp["MeshElements"];
mesh=ToElementMesh["Coordinates"->coord,"MeshElements"-> TE];
mesh["Wireframe"]

Governing Equations

δ=IdentityMatrix[3];
𝒞=Table[λ (Subscript[δ, i·j·])(Subscript[δ, k·l·])+μ ((Subscript[δ, i·k·])(Subscript[δ, j·l·])+(Subscript[δ, i·l·])(Subscript[δ, j·k·])),{i,1,3},{j,1,3},{k,1,3},{l,1,3}];
(OverVector[X])={(Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2]),(Subscript[X, 3])};
(Subscript[(OverVector[X]), r])={(Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2])};
(OverVector[U])[𝒳__]:={(Subscript[U, 1])@@𝒳,(Subscript[U, 2])@@𝒳,0}; (OverVector[U])[(OverVector[X])]//Pprint
ϵ[𝒳_]:=(1/2)((Subscript[∇, (OverVector[X])])(OverVector[U])[𝒳]+((Subscript[∇, (OverVector[X])])(OverVector[U])[𝒳])\[Transpose]);ϵ[(OverVector[X])]//Pprint
σ[𝒳_]:=Table[(∑_(k=1)^3)(∑_(l=1)^3) (Subscript[𝒞, i·j·k·l·]) (Subscript[ϵ[𝒳], k·l·]),{i,1,3},{j,1,3}];σ[(Subscript[(OverVector[X]), r])]//Pprint
R[𝒳_]:=(Subscript[∇, (OverVector[X])]).σ[𝒳] ;R[(Subscript[(OverVector[X]), r])]//Pprint

Boundary value problem set up

(Subscript[(OverVector[U]), r])[𝒳__]:={(Subscript[U, 1])[(Subscript[𝒳, 1·]),(Subscript[𝒳, 2·])],(Subscript[U, 2])[(Subscript[𝒳, 1·]),(Subscript[𝒳, 2·])]}; (Subscript[(OverVector[U]), r])[(Subscript[(OverVector[X]), r])]//Pprint

(({{(Subscript[U, 1])((Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2]))}, {(Subscript[U, 2])((Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2]))}}))

vd=NDSolve`VariableData[{"DependentVariables","Space"}->{{(Subscript[U, 1]),(Subscript[U, 2])},(Subscript[(OverVector[X]), r])}];
sd=NDSolve`SolutionData["Space"->ToNumericalRegion[mesh]];
methodData=InitializePDEMethodData[vd,sd];

c=Table[0,{i,1,2},{j,1,2},{k,1,2},{l,1,2}];
Table[c[[i,k,j,l]]=-Coefficient[(Subscript[σ[(OverVector[X])], i·j·]),D[(Subscript[(OverVector[U])[(OverVector[X])], k·]),(Subscript[(OverVector[X]), l·])]],{i,1,2},{j,1,2},{k,1,2},{l,1,2}];
((Subscript[R[(Subscript[(OverVector[X]), r])], 1·])-(Subscript[∇, (Subscript[(OverVector[X]), r])]).(-c[[1,1]].(Subscript[∇, (Subscript[(OverVector[X]), r])])(Subscript[(Subscript[(OverVector[U]), r])[(Subscript[(OverVector[X]), r])], 1·])-c[[1,2]].(Subscript[∇, (Subscript[(OverVector[X]), r])])(Subscript[(Subscript[(OverVector[U]), r])[(Subscript[(OverVector[X]), r])], 2·])))//Simplify
((Subscript[R[(Subscript[(OverVector[X]), r])], 2·])-(Subscript[∇, (Subscript[(OverVector[X]), r])]).(-c[[2,1]].(Subscript[∇, (Subscript[(OverVector[X]), r])])(Subscript[(Subscript[(OverVector[U]), r])[(Subscript[(OverVector[X]), r])], 1·])-c[[2,2]].(Subscript[∇, (Subscript[(OverVector[X]), r])])(Subscript[(OverVector[U])[(Subscript[(OverVector[X]), r])], 2·])))//Simplify

Block[{λ=1,μ=1},pdeCoefficients=InitializePDECoefficients[vd,sd,"DiffusionCoefficients"->{{c[[1,1]],c[[1,2]]},{c[[2,1]],c[[2,2]]}}]]

Boundary Conditions

(Subscript[Γ, (Subscript[g, 1])])=DirichletCondition[(Subscript[U, 1])[(Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2])]==0,(Subscript[X, 2])==0];
(Subscript[Γ, (Subscript[g, 2])])=DirichletCondition[(Subscript[U, 2])[(Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2])]==0,(Subscript[X, 2])==0];
(Subscript[Γ, (Subscript[g, 3])])=DirichletCondition[(Subscript[U, 2])[(Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2])]==L/100,(Subscript[X, 2])==L];
(Subscript[Γ, (Subscript[g, 4])])=DirichletCondition[(Subscript[U, 1])[(Subscript[X, 1]),(Subscript[X, 2])]==0.0,(Subscript[X, 2])==L];
initBCs=InitializeBoundaryConditions[vd,sd,{(Subscript[Γ, (Subscript[g, 1])]),(Subscript[Γ, (Subscript[g, 2])]),(Subscript[Γ, (Subscript[g, 3])]),(Subscript[Γ, (Subscript[g, 4])])}]
discreteBCs=DiscretizeBoundaryConditions[initBCs,methodData,sd]

discretePDE=DiscretizePDE[pdeCoefficients,methodData,sd];
{load,stiffness,damping,mass}=discretePDE["SystemMatrices"]

DeployBoundaryConditions[{load,stiffness},discreteBCs]

Short[solution=LinearSolve[stiffness,load]]

split=Span@@@Transpose[{Most[#+1],Rest[#]}&[methodData["IncidentOffsets"]]]
(Subscript[Un, 1])=ElementMeshInterpolation[{mesh}, solution[[split[[1]]]]]
(Subscript[Un, 2])=ElementMeshInterpolation[{mesh}, solution[[split[[2]]]]]

dmesh=ElementMeshDeformation[mesh,{(Subscript[Un, 1]),(Subscript[Un, 2])}]
Show[#,ImageSize->200,Text->{"Deformed"}]&/@{mesh["Wireframe"["MeshElementStyle"->Directive[FaceForm[LightGray],EdgeForm[Darker[Red,0.1]],Opacity->0.1]]],DMesh=dmesh["Wireframe"["ElementMeshDirective"->Directive[EdgeForm[Black],FaceForm[]]]]}

Button["Hide Inputs",Module[{nb},nb=EvaluationNotebook[];
NotebookFind[EvaluationNotebook[],"Input",All,CellStyle];
SetOptions[NotebookSelection[nb],CellOpen->False,ShowCellBracket->False]]]

Button["Show Inputs",Module[{nb},nb=EvaluationNotebook[];
NotebookFind[EvaluationNotebook[],"Input",All,CellStyle];
SetOptions[NotebookSelection[nb],CellOpen->True,ShowCellBracket->True]]]

(Subscript[(OverVector[U]), n])[𝒳__]:={(Subscript[Un, 1])@@𝒳,(Subscript[Un, 2])@@𝒳,0}
(Subscript[ϵ, n])[(Subscript[X, 1]):_,(Subscript[X, 2]):_]=(1/2)((Subscript[∇, (OverVector[X])])(Subscript[(OverVector[U]), n])[(Subscript[(OverVector[X]), r])]+((Subscript[∇, (OverVector[X])])(Subscript[(OverVector[U]), n])[(Subscript[(OverVector[X]), r])])\[Transpose]);
(Subscript[σ, n])[(Subscript[X, 1]):_,(Subscript[X, 2]):_]=Block[{λ=1,μ=1},Table[(∑_(k=1)^3)(∑_(l=1)^3)(Subscript[𝒞, i·j·k·l·])(Subscript[((Subscript[ϵ, n])@@(Subscript[(OverVector[X]), r])), k·l·]),{i,1,3},{j,1,3}]];

Plot[(Subscript[(Subscript[(OverVector[U]), n])[{0.1,(Subscript[X, 2])}], 2·]),{(Subscript[X, 2]),0,L}]
Plot[(Subscript[(Subscript[(OverVector[U]), n])[{0.1,(Subscript[X, 2])}], 1·]),{(Subscript[X, 2]),0,L}]
ContourPlot[(Subscript[((Subscript[ϵ, n])◦(Subscript[(OverVector[X]), r])), 2·2·]),{(Subscript[X, 1]),0,W},{(Subscript[X, 2]),sh-10dt,sh+10dt},Contours->20,ColorFunction->ColorData["LightTemperatureMap"],PlotPoints->20,MaxRecursion->3]
ContourPlot[(Subscript[((Subscript[σ, n])◦(Subscript[(OverVector[X]), r])), 1·1·]),{(Subscript[X, 1]),0,W},{(Subscript[X, 2]),0,L},ColorFunction->ColorData["LightTemperatureMap"],Contours->20,PlotPoints->20,MaxRecursion->3,AspectRatio->Automatic]