<<Notation`
Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[(Underoverscript[x_, (_), (^)]), i_])])]
Symbolize[(NotationTemplateTag[(Subscript[X_, i_])])]

3-2-1

Unprotect[(Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 1]),(Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 2]),(Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 3])];
(Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 1])={1,0,0};
(Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 2])={0,1,0};
(Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 3])={0,0,1};
Protect[(Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 1]),(Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 2]),(Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 3])];

ComputeEulerRot[]:=Module[{(Subscript[(Underoverscript[g, (_), (^)]), 1]),(Subscript[(Underoverscript[g, (_), (^)]), 2]),(Subscript[(Underoverscript[g, (_), (^)]), 3])},
With[{ψ=(Subscript[γ, 1])=π/2,θ=(Subscript[γ, 2])=π/3,ϕ=(Subscript[γ, 3])=π/4},
(Subscript[(Underoverscript[g, (_), (^)]), 1])=(Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 3])//N;
(Subscript[R, 1])=RotationMatrix[(Subscript[γ, 1]),(Subscript[(Underoverscript[g, (_), (^)]), 1])];
(Subscript[(Underoverscript[g, (_), (^)]), 2])=(Subscript[R, 1]). (Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 2]);
(Subscript[R, 2])=RotationMatrix[(Subscript[γ, 2]),(Subscript[(Underoverscript[g, (_), (^)]), 2])];
(Subscript[(Underoverscript[g, (_), (^)]), 3])=(Subscript[R, 2]).(Subscript[R, 1]). (Subscript[(OverHat[(UnderBar[E])]), 1]);
(Subscript[R, 3])=RotationMatrix[(Subscript[γ, 3]),(Subscript[(Underoverscript[g, (_), (^)]), 3])];
R=(Subscript[R, 3]).(Subscript[R, 2]).(Subscript[R, 1]);
Ε=EulerMatrix[{(Subscript[γ, 1]),(Subscript[γ, 2]),(Subscript[γ, 3])},{3,2,1}]//N;
];
{R,Ε}
]
{R,Ε}=ComputeEulerRot[]

R//MatrixForm
Ε//MatrixForm
(R-Ε)//Chop//MatrixForm